142857 é um número popular, pelo menos em certos círculos… e engraçado. Começou a atrair a atenção de matemáticos proeminentes há séculos e fascinou estudantes da teoria dos números. Os esoteristas também apreciaram isso. Seus entusiastas incluem ocultistas como Willis F. Whitehead, para quem 142.857 Foi “a expressão digital de vida, luz e amor”. Mas num nível mais mundano, tornou-se um clássico da matemática recreativa.
Foi popularizado por figuras como Martin Gardner e Shakuntala Devi, o calculador mental indiano conhecido como “computador humano”, que mostrou que qualquer pessoa poderia se divertir explorando suas curiosidades. O número até estrelou um romance cult Estrela dos Ratos (1976), do famoso escritor pós-moderno americano Don DeLillo, em que um grupo de cientistas tenta decifrar o significado de uma mensagem transmitida por uma estrela distante da Via Láctea – aqueles seis dígitos.
Para: as bruxas É particularmente atraente porque permite que sejam surpreendidos, criando a ilusão de que podem prever o que vai acontecer ou ler mentes. aproveitando suas propriedades digitais exclusivas. Um truque que qualquer um de nós pode fazer é começar com quem você quiser impressionar, pegar a calculadora do telefone e digitar 10101. Depois, sem olhar, diga para ele multiplicar por qualquer número de 1 a 6, dividir por 7 e multiplicar por 99. Com absoluta confiança você declarará que o resultado contém 4, 7, 2, 5 e o dígito exato. 8.
mas O que o torna tão único?
Para começar a maravilha de 142857, vale a pena multiplicá-lo. Não se preocupe, nós cuidaremos disso, você só foca no resultado.
142857 x 1 = 142857
142857 x 2 = 285714
142857 x 3 = 428571
142857 x 4 = 571428
142857 x 5 = 714285
142857 x 6 = 857142
Você notou que todos os resultados contêm os mesmos dígitos, apenas em uma ordem diferente?
Nosso número consiste em 6 dígitos e, ao multiplicá-lo por cada um dos números de 1 a 6, obtemos todas as rotações possíveis desses seis dígitos.
Essa propriedade incomum torna-o matematicamente um número cíclico – um número de n dígitos que, quando multiplicado por qualquer um de 1 a n, faz com que seus próprios dígitos girem na mesma ordem circular.
Mas vejamos novamente as multiplicações, porque há mais peculiaridades.
Por exemplo, quando multiplicamos 142857 por 3, obtemos 428571.
É como se os números estivessem conectados por um fio circular invisível. se você cortar esse barbante em qualquer lugar, o resultado seguirá um padrão no sentido horário.
Nesse caso, parece que cortamos aquele barbante entre os números 1 e 4, mas os que seguem o 4 mantêm a mesma ordem até o final do círculo.
Isso acontece com todo mundo. quando você multiplica por 6, o resultado começa com 8 e continua com 5, 7, 1, 4 e 2 conforme você rola.
Mas o que acontece se você ultrapassar o limite e multiplicar 142.857 por 7?
Se multiplicarmos 142857 por 7, algo incrível acontece: o resultado será 999999.
Parece que depois de seis giros mágicos, o número quer continuar nos divertindo.
Como estamos com noves, podemos até brincar com as partes dele.
14 + 28 + 57 = 99
142 + 857 = 999
1428 + 5714 + 2857 = 9999
Será que saltamos convenientemente 1+4+2+8+5+7 porque é igual a 27? Bem, sim (apenas se seguirmos o padrão de somas que dão resultados com o mesmo número de dígitos, 2+7=9).
Também interessante é que se você colocar um 9 no centro de um número para que ele se torne 142 9 857, ao multiplicá-lo por qualquer número de 1 a 6, o produto mantém sua natureza cíclica, mantendo sempre o 9 no centro.
Voltando a 142857 × 7, o resultado não é acidental. está diretamente relacionado ao fato de que 142857 é um ponto decimal de 1/7, e essa relação explica por que seus dígitos giram tão harmoniosamente e por que o carrossel funciona tão perfeitamente.
Se você dividir 1 por 7, obterá:
1÷7 = 0,142857142857142857…
Os seis dígitos (142857) repetem-se continuamente, indefinidamente. Esse bloco repetido é chamado de ponto decimal em matemática.
Agora vem a chave. quando você divide 2, 3, 4, 5 ou 6 por 7, a sequência 142857 sempre reaparece, mas começando em um ponto diferente do ciclo.
E então o ciclo se fecha.
7÷7 = 1
Portanto, o 999999 que obtemos quando multiplicamos 142857 por 7 não é aleatório; é a resposta daquele 1, que em linguagem matemática também pode ser escrito como 0,999999…
Se quiser ver mais todos os dias, divida o número de dias do ano pelo número de dias da semana.
365 ÷ 7 = 52,142857
Aí está o nosso número precedido de 52, que são as semanas de um ano.
Isso somou 0,142857, o que equivale a 1 dia.
Na verdade, cada ano não bissexto “avança” o calendário um dia da semana, por ex. se um ano começa na segunda-feira, o ano seguinte começará na terça-feira.
Se você quiser ver a relação entre 7 e 142857, aqui está.
1 ÷ 142857 = 0,000007000007…
O jogo termina se ultrapassarmos 7?
142857 x 8 = 1142856.
À primeira vista parece que sim, mas se pegarmos o resultado, subtrairmos o primeiro dígito e adicioná-lo, obtemos:
1 + 142856 = 142857… o número inicial, começando pelo menor dígito.
Pode parecer forçado, mas acontece que se continuarmos a mesma coisa, o número cíclico aparece continuamente, começando pelos seus dígitos em ordem crescente (1, 2, 4, 5, 7, 8);
142.857 × 9 = 1.285.713 → 1 + 285.713 = 285.714
142.857 × 10 = 1.428.570 → 1 + 428.570 = 428.571
142.857 × 11 = 1.571.427 → 1 + 571.427 = 571.428
E assim vai até chegarmos…
142857 x 14 = 1999998
1 + 999998 = 999999
Algo semelhante acontece ao multiplicar por 21 (2.999.997 → 2 + 999.997 = 999.999), 28, 35… Enfim, você já descobriu o padrão: são todos múltiplos de 7.
Os matemáticos recreativos foram mais longe para ver se conseguiam voltar à origem.
É um exemplo de muitos.
142857 x 142857 = 20408122449
Adicione 6 dígitos (n) da direita e adicione o resto…
122449 + 20408 = 142857
Se isso não for suficiente para você…
142857 x 6.430.514.712.336 = 918.644.040.260.183.952
E, usando o mesmo método de tirar 6 dígitos da direita…
183952 + 040260 + 918644 = 1142856.
Como você está passando de 6 dígitos, será 1 + 142856 = 142857.
Resumindo, não importa quão grande ou complicada seja a trajetória, 142857 sempre encontra o caminho de volta.
Embora 7 e 142857 sejam especiais, eles não são únicos.
Muitos mais foram descobertos, embora não se saiba quantos serão.
Sabe-se que entre todos os 142.857 se destaca não só por ser o primeiro que você encontra, mas também por ser o único que não começa do zero.
O próximo número cíclico que você encontrará é 0588235294117647, que é o resultado da divisão de 1 por 17.
Seus 16 caracteres se comportam da mesma maneira. quando você os multiplica por qualquer número de 1 a 16, o produto é sempre um carrossel desses mesmos dígitos, só que o carrossel é mais longo.
E quando você multiplica por 17, obtém 999999999999999999, ou seja, 16 noves, como no caso de 142857 x 7,6 noves.
Veja algo que os caracteriza. o número de dígitos que constituem um número cíclico é sempre um a menos que o número que o gera. Aquele criado com 7 tem 6 dígitos. 17 tem 16 dígitos.
Outra característica fundamental fica evidente quando se consideram os números menores que 100 que geram os ciclos: 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 e 97.
Eles são todos primos.
Embora nem todos os números primos dêem origem a números cíclicos, todos os números cíclicos dão origem a números primos.
Para ter o dom de criar ciclos, um número primo deve cumprir uma propriedade especial. A divisão de 1 por ele deve resultar em uma sequência repetida de números cujo comprimento, como vemos, é exatamente um a menos que seu valor.
Graças a isso, os dígitos podem ser girados em um carrossel perfeito sem perder nenhum ou repetir prematuramente. É o segredo que garante que cada dígito tenha o seu lugar e que o ciclo nunca seja quebrado.
Até o momento, os números cíclicos não têm uso prático em engenharia, finanças ou ciência aplicada, mas têm sido úteis na teoria dos números, na criptografia teórica e na codificação.
E, claro, também serviram como ferramenta educacional e recreativa, perfeita para explorar padrões numéricos e despertar a curiosidade matemática.
*Por Dália Ventura
